Question

【題目】函數(shù)的定義域為R，且對任意，有，且當時，

（1）求；

（2）用定義法證明函數(shù)在R上是減函數(shù)；

（3）若，求在區(qū)間上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1) ,(2)證明見解析,(3) 在上的最大值為12，最小值為-12．

【解析】

（1）令x＝y＝0f（0）＝0；

（2）令y＝﹣x即可證得f（﹣x）＝﹣f（x），利用函數(shù)的單調性的定義與奇函數(shù)的性質，結合已知即可證得f（x）是R上的減函數(shù)；

（3）利用f（x）在R上是減函數(shù)可知f（x）在[﹣3，3]上也是減函數(shù)，又f（1）＝﹣4，從而可求得f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．

（1）∵函數(shù)對于任意總有，

令，得；

（2）證明：令y＝﹣x，則f（﹣x）＝﹣f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，

在R上任取，則，

，

時，，

，

在R上是減函數(shù)．

（3）是R上減函數(shù)，

在上也是減函數(shù)，

在上的最大值和最小值分別為和，

而，

在上的最大值為12，最小值為-12．