Question

如圖，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前進

6

km到達D，看到A在他的北偏東45°方向，B在其的北偏東75°方向，試求這兩座建筑物A與B之間的距離．

Answer 1

分析：在△ADC中利用正弦定理，結(jié)合題意算出AC=3km．然后在△BDC中利用正弦定理得BC=

DCsin∠BDC

sin∠DBC

=

2

，最后在在△ABC中利用余弦定理加以計算，即可算出AB的長，從而得出兩座建筑物A與B之間的距離．

解答：解：∵在△ADC中，∠ACD=75°，則∠ADC=105°-45°=60°，∠DAC=45°，且CD=

6

∴由正弦定理，得AC=

DCsin∠ADC

sin∠DAC

=

6 sin60°

sin45°

=3km；…（4分）
又∵在△BDC中，∠BCD=75°-45°=30°，∠BDC=105°-75°=30°，
∴∠DBC=120°，
結(jié)合CD=

6

利用正弦定理，得BC=

DCsin∠BDC

sin∠DBC

=

6 sin30°

sin120°

=

2

km；…（8分）
在△ABC中，∠ACB=45°，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB=9+2-6

2

cos45°=5km²…（12分）
可得AB=

5

km
答：這兩座建筑物A與B之間的距離是

5

km…（13分）

點評：本題給出實際應(yīng)用問題，求兩座建筑物之間的距離．著重考查了利用正余弦定理解三角形和解三角形知識在實際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題．