Question

若（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ（n∈N^*）展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，
（1）求展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)；
（2）求展開式中的所有有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得n的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式T_r+1=

C

r n

•2^-r•x

n

2

-

3

4

r即可求得展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)；
（2）由其通項(xiàng)T_r+1=

C

r 8

•2^-r•x4-

3

4

r（0≤r≤8）中，令4-

3

4

r為整數(shù)，即可求得相應(yīng)的有理項(xiàng)．

解答：解：（1）∵（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ（n∈N^*）展開式的通項(xiàng)公式T_r+1=

C

r n

•2^-r•x

n

2

-

3

4

r，
∴前三項(xiàng)系數(shù)分別為：1，

n

2

，

n(n-1)

8

，
∵1，

n

2

，

n(n-1)

8

成等差數(shù)列，
∴n=1+

n(n-1)

8

，
解的n=8或n=1（舍去），
∴展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)為

C

3 8

•2^-3=56×

1

8

=7，展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

C

3 8

=

8×7×6

3×2×1

=56；
（2）∵n=8，
∴T_r+1=

C

r 8

•2^-r•x4-

3

4

r（0≤r≤8），
當(dāng)r=0，4，8，時，4-

3

4

r為整數(shù)，
∴展開式中的所有有理項(xiàng)為：T₁=x⁴；
T₅=

C

4 8

•2^-4•x=

35

8

x；T₉=2^-8x^-2=

1

256x2

．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．