Question

證明下列不等式：
（1）a，b都是正數(shù)，且a+b=1，求證：(1+

1

a

)(1+

1

b

)≥9；
（2）設(shè)實數(shù)x，y滿足y+x²=0，且0＜a＜1，求證：loga(ax+ay)＜

1

8

+loga2．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知左=(1+

a+b

a

)(1+

a+b

b

)=(2+

b

a

)(2+

a

b

)=5+2(

b

a

+

a

b

)≥9．
（2）由題設(shè)知ax+ay≥2

ax+y

，由0＜a＜1，知loga(ax+ay)≤loga2

ax+y

=

1

2

logaax+y+loga2=

1

2

(x+y)+loga2，由此能夠證明loga(ax+ay)＜

1

8

+loga2．

解答：證明（1）左=(1+

a+b

a

)(1+

a+b

b

)=(2+

b

a

)(2+

a

b

)=5+2(

b

a

+

a

b

)（3分）
因為a＞0，b＞0，所以

b

a

+

a

b

≥2（5分）
所以左=(1+

a+b

a

)(1+

a+b

b

)=(2+

b

a

)(2+

a

b

)=5+2(

b

a

+

a

b

)≥9（7分）
（2）∵a^x＞0，a^y＞0，
∴ax+ay≥2

ax+y

（9分）
又∵0＜a＜1，
∴loga(ax+ay)≤loga2

ax+y

=

1

2

logaax+y+loga2=

1

2

(x+y)+loga2（12分）
因為y+x²=0，
∴loga(ax+ay)=

1

2

(x-x2)+loga2=-

1

2

(x-

1

2

)2+

1

8

+loga2≤

1

8

+loga2
即原不等式得證..（14分）

點評：本題考查不等式的證明，解題時要注意均值不等式的合理運用．