Question

設(shè)函數(shù)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

   （1）求與的關(guān)系； （2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；   （3）設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得＞成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1）由題意得  

      而，所以、的關(guān)系為    

   （2）由（1）知，

    令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足：恒成立.     

①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img width=13 height=15 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/147/220947.gif" >＞，所以＜0，＜0，

   ∴在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意；

    ②當(dāng)＞0時(shí)，，其圖像為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，

    ∴，只需，即，

    ∴在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，  故適合題意.

    ③當(dāng)＜0時(shí)，，其圖像為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，只要， 即時(shí)，在恒成立，故＜0適合題意. 

    綜上所述，的取值范圍為.      

   （3）∵在上是減函數(shù)，∴時(shí)，；時(shí)，，

即，

    ①當(dāng)時(shí)，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；                                     

    ②當(dāng)0＜＜1時(shí)，由，又由（2）知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

     ∴＜，不合題意；                                           

    ③當(dāng)時(shí)，由（2）知在上是增函數(shù)，＜2，又在上是減函數(shù)，

    故只需＞， ， 而，，

    即  ＞2，解得＞ ，綜上，的取值范圍是.