Question

已知拋物線C：y²=2px （p＞0）上一點(diǎn)P（6，m）到其焦點(diǎn)F的距離為7，則拋物線C的以點(diǎn)M（2，1）為中點(diǎn)的弦AB所在直線的方程為

48x-y-95=0

．

Answer 1

分析：由拋物線C：y²=2px （p＞0）上一點(diǎn)P（6，m）到其焦點(diǎn)F的距離為7，推導(dǎo)出拋物線C：y²=24x．由此利用點(diǎn)差法能求出拋物線C的以點(diǎn)M（2，1）為中點(diǎn)的弦AB所在直線方程．

解答：解：準(zhǔn)線x=-

p

2

，
由拋物線定義，M到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，
M到準(zhǔn)線距離=1-（-

p

2

）=7，p=12．
∴拋物線C：y²=24x．
設(shè)拋物線C的以點(diǎn)M（2，1）為中點(diǎn)的弦AB義拋物線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入拋物線C：y²=24x，得

y12=24x1 y22=24x2

，∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=24（x₁+x 2 ）（x₁-x₂），
∴2（y₁-y₂）=96（x 1 -x₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=48，
∴拋物線C的以點(diǎn)M（2，1）為中點(diǎn)的弦AB所在直線方程為y-1=48（x-2），
整理，得48x-y-95=0．
故答案為：48x-y-95=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，具體涉及到拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．