Question

（2013•寧德模擬）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率e=

1

2

．
（I）若點(diǎn)F在直線(xiàn)l：x-y+1=0上，求橢圓E的方程；
（II）若0＜a＜1，試探究橢圓E上是否存在點(diǎn)P，使得

PF

•

PA

=1？若存在，求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）橢圓的左焦點(diǎn)F在直線(xiàn)l：x-y+1=0上，把F的坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程可求c的值，與離心率e=

1

2

聯(lián)立后可求a的值，則橢圓E的方程可求；
（Ⅱ）假設(shè)橢圓E上存在點(diǎn)P，使得

PF

•

PA

=1，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量

PF

和

PA

，代入

PF

•

PA

=1后求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由題目給出的a的范圍推出點(diǎn)P橫坐標(biāo)不在[-a，a]內(nèi)，從而得出矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤．

解答：解：（Ⅰ）∵F（-c，0）在直線(xiàn)l：x-y+1=0上，
∴-c+1=0，即c=1，
又e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c=2，
∴b=

a2-c2

=

22-12

=

3

．
從而橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由e=

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，
∴b=

a2-c2

=

a2- a2 4

=

3 a

2

，
橢圓E的方程為

x2

a2

+

4y2

3a2

=1，其左焦點(diǎn)為F(-

1

2

a，0)，右頂點(diǎn)為A（a，0），
假設(shè)橢圓E上存在點(diǎn)P（x₀，y₀）（-a≤x₀≤a），使得

PF

•

PA

=1，
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓上，∴y02=-

3

4

x02+

3

4

a2，
由

PF

•

PA

=(-

1

2

a-x0，-y0)•(a-x0，-y0)
=(-

1

2

a-x0)(a-x0)+y02
=-

1

2

a2-

1

2

ax0+x02-

3

4

x02+

3

4

a2
=

1

4

(x0-a)2=1．
解得：x₀=a±2，
∵0＜a＜1，∴
x₀=a±2∉[-a，a]，
故不存在點(diǎn)P，使得

PF

•

PA

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，訓(xùn)練了存在性問(wèn)題的處理方法，對(duì)于存在性問(wèn)題，解決的思路是假設(shè)結(jié)論成立，把假設(shè)作為已知條件進(jìn)行推理，得出正確的等式關(guān)系則假設(shè)成立，肯定結(jié)論，否則假設(shè)不成立，否定結(jié)論．此題是中檔題．