Question

（2012•豐臺區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且經(jīng)過點M（-2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，連接MA，MB并延長交直線x=4于P，Q兩點，設y_P，y_Q分別為點P，Q的縱坐標，且

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

．求證：直線l過定點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且經(jīng)過點M（-2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求
橢圓方程；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用 

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

，及韋達定理，可得y=kx-k，故直線l過定點．

解答：（Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且經(jīng)過點M（-2，0）．
∴a=2，

c

a

=

2

2

，∴c=

2

．                        …（2分）
∵a²=b²+c²，∴b=

2

．                            …（3分）
橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．                                      …（5分）
（Ⅱ）證明：

x2+2y2=4 y=kx+m

消y得  （2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，△＞0．             …（6分）
因為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-4

2k2+1

．          …（7分）
設直線MA：y=

y1

x1+2

(x+2)，則yP=

6y1

x1+2

；同理yQ=

6y2

x2+2

…（9分）
因為 

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

，所以 

6

6y1

+

6

6y2

=

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

，即

x1-4

6y1

+

x2-4

6y2

=0．     …（10分）
所以 （x₁-4）y₂+（x₂-4）y₁=0，
所以 （x₁-4）（kx₂+m）+（x₂-4）（kx₁+m）=0，2kx₁x₂+m（x₁+x₂）-4k（x₁+x₂）-8m=0，所以2k

2m2-4

2k2+1

+m(-

4km

2k2+1

)-4k(-

4km

2k2+1

)-8m=0，
所以 

-8k-8m

2k2+1

=0，得 m=-k．                           …（13分）
則y=kx-k，故l過定點（1，0）．                              …（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線過定點，正確運用韋達定理是關鍵．