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        1. 已知等比數(shù)列{an}的公比為q,Sn是{an}的前n項(xiàng)和.
          (1)若a1=1,q≥1,求
          lim
          n→∞
          an
          Sn
          的值;
          (2)若a1=1,|q|<1,Sn有無最值?并說明理由.
          (3)設(shè)q=
          1
          t
          ,若首項(xiàng)a1和t都是正整數(shù),t滿足不等式:|t-63|<62,且對(duì)于任意正整數(shù)n有9<Sn<12成立,問:這樣的數(shù)列{an}有幾個(gè)?
          分析:(1)對(duì)q分類討論,求出前n項(xiàng)和,即可求得極限;
          (2)對(duì)q分類討論,再對(duì)n分奇數(shù)、偶數(shù)討論,從而可求Sn的最值;
          (3)根據(jù)t滿足不等式|t-63|<62,可確定q的范圍,進(jìn)而可得Sn隨著n的增大而增大,利用9<Sn<12,可求首項(xiàng)a1,再分類討論,即可求解.
          解答:解:(1)當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1,an=a1,∴
          lim
          n→∞
          an
          Sn
          =
          lim
          n→∞
          a1
          na1
          =0
          當(dāng)q>1時(shí),Sn=
          a1(1-qn)
          1-q
          an
          Sn
          =
          (1-q)qn-1
          1-qn
          ,
          lim
          n→∞
          an
          Sn
          =
          q-1
          q

          lim
          n→∞
          an
          Sn
          =
          q-1
          q
          (q≥1);
          (2)若a1=1,|q|<1,則Sn=
          1-qn
          1-q

          當(dāng)0<q<1時(shí),Sn=
          1
          1-q
          -
          qn
          1-q
          ,所以Sn隨n的增大而增大,而S1≤Sn
          1
          1-q
          ,此時(shí)Sn有最小值1,但無最大值;
          當(dāng)-1<q<0時(shí),①n=2k,k∈N+時(shí),Sn=
          1
          1-q
          -
          (q2)k
          1-q
          ,所以Sn隨k的增大而增大,即n是偶數(shù)時(shí),S2≤Sn
          1
          1-q
          ,即1+q≤Sn
          1
          1-q
          ;
          ②n=2k-1,k∈N+時(shí),Sn=
          1
          1-q
          -
          q2k-1
          1-q
          ,所以Sn隨k的增大而減小,即n是奇數(shù)時(shí),
          1
          1-q
          SnS1
          ,即
          1
          1-q
          Sn≤1
          ;
          由①②可得1+q≤Sn≤1,
          ∴Sn由最大值為1,最小值為1+q;
          (3)∵|t-63|<62,∴-62<t-63<62,∴1<t<125,∴q=
          1
          t
          ∈(0,1),
          Sn=
          a1(1-qn)
          1-q
          =
          a1(1-(
          1
          t
          )
          n
          )
          1-
          1
          t
          ,且Sn隨n的增大而增大,∴(Snmin=S1
          ∵對(duì)于任意正整數(shù)n有9<Sn<12成立,∴9<S1<12,∴9<a1<12,
          ∵首項(xiàng)a1是正整數(shù),∴a1=10或a1=11
          a1=10時(shí),
          lim
          n→∞
          Sn≤12
          1<t<125
          ,∴
          10
          1-
          1
          t
          ≤12
          1<t<125
          ,∴
          t≥6
          1<t<125
          ,∴t∈[6,125),
          ∵t是正整數(shù),∴124-6+1=119個(gè);
          a1=11時(shí),
          lim
          n→∞
          Sn≤12
          1<t<125
          ,∴
          11
          1-
          1
          t
          ≤12
          1<t<125
          ,∴
          t≥12
          1<t<125
          ,∴t∈[12,125),
          ∵t是正整數(shù),∴124-12+1=113個(gè);
          ∴共有119+113=332個(gè).
          點(diǎn)評(píng):本題以等比數(shù)列為載體,考查數(shù)列的極限,考查等比數(shù)列的求和,考查數(shù)列的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2)令bn=log3an,求數(shù)列{
          1bnbn+1
          }的前n項(xiàng)和Sn

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          3
          3

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          (Ⅱ)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn

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          12
          ,則n=
          9
          9

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