Question

如圖1，E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD的中點，G是EF上的一點。將△GAB、△GCB分別沿AB、CD翻折成△G₁AB、△G₂CD，并連結(jié)G₁G₂，使得平面G₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂∥AD，且G₁G₂＜AD，連結(jié)BG₂，如圖2，
（Ⅰ）證明平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；
（Ⅱ）當AB=12，BC=25，EG=8時，求直線BG₂和平面G₁ADG₂所成的角。

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為平面G1AB⊥平面ABCD， 平面G1AB∩平面ABCD=AB， AD⊥AB，AD平面ABCD， 所以AD⊥平面G1AB， 又AD平面G1ADG2， 所以平面G1AB⊥平面G1ADG2。

（Ⅱ）解：過點B作BH⊥AG1于點H，連結(jié)G2H， 由（Ⅰ）的結(jié)論可知，BH⊥平面G1ADG2， 所以∠BG1H是BG2和平面G1ADG2所成的角， 因為平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB∩平面ABCD=AB， G1E=AB，G1E平面G1AB， 所以G1E⊥平面ABCD， 故G1E⊥EF， 因為G1G2＜AD，AD=EF， 所以可在EF上取一點O，使EO=G1G2， 又因為G1G2∥AD∥EO， 所以四邊形G1EOG2是矩形， 由題設AB=12，BC=25，EG=8，則GF=17， 所以G2O=G1E=8，G2F=17， OF=， 因為AD⊥平面G1AB，G1G2∥AD， 所以G1G2⊥平面G1AB， 從而G1G2⊥G1B， 故BG=BE2+EG+G1G=62+82+102=200， BG2=， 又AG1=， 由， 故， 即直線BG2與平面G1ADG2所成的角是。