Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,求以下各對(duì)異面直線所成的角:

(1)AB、CC₁;(2)AB₁、CD₁;

(3)AB₁、CD;(4)AB₁、BC₁.

Answer 1

解析:(1)∵ABCD—A₁B₁C₁D₁為正方體,

             ①

∴BB₁與CC₁平行,∴AB與BB₁所成的銳角或直角就是AB與CC₁所成的角.

又∵AB與BB₁所成的角為直角,故AB與CC₁所成的角為直角,即為90°,如圖①.

(2)如圖②,連結(jié)A₁B,

由ABCD—A₁B₁C₁D₁為正方體可得A₁D₁∥AD,BC∥AD,

            ②

故有A₁D₁∥BC,

∴四邊形A₁D₁CB是平行四邊形.

∴A₁B∥CD₁.

因此,AB₁與A₁B所成的銳角或直角就是AB₁、CD₁所成的角.

由正方形的性質(zhì)可知AB₁與A₁B所成的角為直角,

∴AB₁、CD₁所成的角為直角,即為90°.

(3)如圖③,由AB與CD平行可得AB₁與CD所成的角就是∠B₁AB,而由正方形的性質(zhì)可知這個(gè)角為45°.

               ③

∴AB₁與CD所成的角為45°.

(4)如圖④,連結(jié)AD₁,如前所述可知AB與C₁D₁平行且相等,進(jìn)而可知四邊形ABC₁D₁為平行四邊形,

∴AD₁與BC₁平行且相等,由此可知∠D₁AB₁即是所求的兩條異面直線所成的角或其補(bǔ)角(現(xiàn)在還不知道這個(gè)角的大小).連結(jié)B₁D₁,

              ④

在△D₁AB₁中,AB₁=B₁D₁=AD₁(都是邊長(zhǎng)相等的正方形的對(duì)角線),

由此我們可知△D₁AB₁是正三角形,

∴∠D₁AB₁的大小為60°.

小結(jié):(1)在求兩條異面直線所成的角時(shí),應(yīng)注意充分利用題中現(xiàn)有的線段,在很多情況下,已知條件中已經(jīng)存在與兩條異面直線平行的線段,只需我們把它找到即可.

(2)在作兩條異面直線的平行線時(shí),我們通常采用平移的辦法來(lái)解決,比如這個(gè)問(wèn)題中,我們可以想象把線段CD₁平移到A₁B,這種方法看起來(lái)與作平行的效果是相同的,但實(shí)際應(yīng)用中是非常簡(jiǎn)捷方便的.以后我們?cè)诮忸}的過(guò)程中一般都采用平移的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

(3)在研究此類問(wèn)題時(shí),我們首先要把研究的對(duì)象(兩條異面直線)通過(guò)平移的方法使它們成為兩條相交直線.

(4)求兩條異面直線所成的角,主要的問(wèn)題是平移,找平行線,如果沒(méi)有思路,我們可以試著把其中的一個(gè)線段平移,也可把兩個(gè)線段都平移而得到兩條相交直線.但是不管怎樣平移,中心目標(biāo)是能夠形成一個(gè)可解的三角形.