Question

已知f(x)=

1

4

x4+

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c．
（1）如果b=0，且f（x）在x=1時(shí)取得極值，求a的值，并指出這個(gè)極值是極大值還是極小值，說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，如果函數(shù)y=f（x）的圖象上有三個(gè)不同點(diǎn)處的切線與直線x+2y+3=0垂直，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)f'（x）=x³+x²+ax，根據(jù)x=1是f（x）的極值點(diǎn)，求出a值，從而得出f'（x）=x³+x²-2x=x（x²-x-2=x（x-1）（x+2），再討論當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，從而得出結(jié)論．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f'（x）=x³+x²-x+b，直線x+2y+3=0的斜率為-

1

2

，依題意，方程x³+x²-x+b=2有三個(gè)不等的實(shí)根．設(shè)g（x）=x³+x²-x+b-2，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）極值，由函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，尋求函數(shù)的極值點(diǎn)，得到極值，通過(guò)比較函數(shù)的極值與參數(shù)b之間的關(guān)系即可得到答案．

解答：解：（1）由題意f(x)=

1

4

x4+

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c，b=0，
∴f'（x）=x³+x²+ax，
∵x=1是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f'（1）=a+2=0，a=-2．
此時(shí)，f'（x）=x³+x²-2x=x（x²-x-2）=x（x-1）（x+2）
所以0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0
因此f（x）在x=1處取得極小值．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f'（x）=x³+x²-x+b，直線x+2y+3=0的斜率為-

1

2

，
依題意，函數(shù)y=f（x）的圖象上有三個(gè)不同點(diǎn)處的切線與直線x+2y+3=0垂直
∴方程x³+x²-x+b=2有三個(gè)不等的實(shí)根．
設(shè)g（x）=x³+x²-x+b-2，
由g'（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）=0，
得x₁=-1，x₂=

1

3

．
當(dāng)x變化時(shí)，g'（x），g（x）的變化狀態(tài)如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

知，g（x）在x=-1處取得極大值，在x=

1

3

處取得極小值．
極大值為g（-1）=b-1，極小值為g（

1

3

）=b-

59

27

，
由b-1＞0，且b-

59

27

＜0，
得b的取值范圍：1＜b＜

59

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合考查了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想等數(shù)學(xué)思想，在求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)對(duì)學(xué)生的能力有較高的要求．