Question

如圖，在正三棱錐A-BCD中，M、N分別是AD、CD的中點，BM⊥MN，則正三棱錐的側面與底面所成角的正切值為（　�。�

• A．

  2

  2

• B．

  3

• C．

  3

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：先證明AC⊥面BMD，進而可得AC⊥AD，連接AN，BN，則BN⊥CD，AN⊥CD，故∠ANB為正三棱錐的側面與底面所成角，從而可求其正切值．

解答：解：設點A在面BCD內(nèi)的射影為A′
∵三棱錐A-BCD為正三棱錐
∴AB=AD，△BCD為正三角形，A′為△BCD中心
∴CD⊥BA′，∵AA′⊥面BCD
∴CD⊥AB，
∵M、N分別是AD、CD的中點
∴MN∥AC，
∵BM⊥MN，
∴AC⊥BM
又∵BD⊥平面ACA'，BD?平面ACA'
∴AC⊥BD，
∵BD∩BM=B
∴AC⊥面BMD，
∵AD?面BMD
∴AC⊥AD
連接AN，BN，則BN⊥CD，AN⊥CD
∴∠ANB為正三棱錐的側面與底面所成角
設CD=2a，則BN=

3

a，AN=a，AB=

2

a
∴∠BAN=90°
在△ABN中，tan∠ANB=

2 a

a

=

2

故選D．

點評：本題考查了正三棱錐的性質(zhì)，二面角的求法和面面垂直的性質(zhì)，解題時要有空間想象力，要能恰當?shù)臏贤ㄎ粗�量之間的關系，能夠用轉化的思想方法將空間問題化為平面問題