Question

對于定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x），給出下列命題：
①若函數(shù)f（x）滿足條件f（x-1）+f（1-x）=2，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱；
②若函數(shù)f（x）滿足條件f（x-1）=f（1-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）其圖象關(guān)于直線x=1對稱；
④在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f（1+x）與y=f（1-x）其圖象關(guān)于y軸對稱．
其中，真命題的個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①取點(diǎn)（x，f（x）），則關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，2-f（x）），利用條件可得結(jié)論；
②令t=1-x，有f（t）=f（-t），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線y軸對稱；
③f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，利用圖象的變換，可得結(jié)論；
④在同一坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=f（1+x）的圖象上，則（-x，y）在y=f（1-x）的圖象上，可得結(jié)論．

解答：解：①取點(diǎn)（x，f（x）），則關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，2-f（x））
∴2-f（x）=f（-x）
∵f（x-1）+f（1-x）=2，∴f（x）+f（-x）=2，∴2-f（x）=f（-x），即①正確；
②若f（1-x）=f（x-1），令t=1-x，有f（t）=f（-t），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線y軸對稱，即②正確；
③∵f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象可以由f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了一個單位而得到，從而可得函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，即③正確；
④在同一坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=f（1+x）的圖象上，則（-x，y）在y=f（1-x）的圖象上，∴函數(shù)y=f（1+x）與y=f（1-x）其圖象關(guān)于y軸對稱，即④正確．
綜上，①②③④均為真命題．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查命題真假的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．