Question

已知函數(k為常數)，是函數圖像上的點．

（1）求實數k的值及函數的解析式；

（2）將的圖像按向量平移得到函數y=g(x)的圖像．

若對任意的恒成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）k=－3  f^－1(x)=log₃(x+3)，(x>－3)  （2） 

解析:

（1）∵A（－2k， 2）是函數y=f^－1(x)圖像上的點．

∴B（2，－2K）是函數y=f(x)上的點．     ∴-2k=3²+k

∴k=－3， ∴y=f(x)=3^x－3 ………………………………………3分

∴y=f^－1(x)=log₃(x+3)，(x>－3) ………………………………6分

（2）將y=f^－1(x)的圖像按向量=（3，0）平移，得函數y=g(x)=log₃x(x>0) ……8分

要使2f^－1(x+)－g(x)≥1 恒成立，

即使2log₃(x+)－log₃??x≥1恒成立．

所以有x+≥3在x>0時恒成立，

只須（x+）_min≥3．…………………………11分

又x+(當且僅當x=時取等號)

∴（x+）_min=4 ，

只須4≥3，即m≥．

∴實數m的取值范圍為……………………………14分