Question

過直線y=x上的一點(diǎn)P作圓（x-5）²+（y-1）²=2的兩條切線l₁，l₂，A，B為切點(diǎn)，當(dāng)直線l₁，l₂關(guān)于直線y=x對稱時(shí)，則∠APB=（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：判斷圓心與直線的關(guān)系，在直線上求出特殊點(diǎn)，P的方程，利用切線長、半徑以及該點(diǎn)與圓形連線構(gòu)成直角三角形，求出∠APB的值．
解答：解：顯然圓心（5，1）不在直線y=x上．
由對稱性可知，只有直線y=x上的特殊點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)與圓心連線垂直于直線y=x，從這點(diǎn)做切線才能關(guān)于直線y=x對稱．
所以該點(diǎn)與圓形連線所在的直線方程為：y-5=-（x-1）即 y=6-x
與 y=x聯(lián)立可求出該點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
所以該點(diǎn)到圓心的距離為（（5-3）²+（1-3）²=2
切線長、半徑以及該點(diǎn)與圓形連線構(gòu)成直角三角形，又知圓的半徑為．
所以夾角的一半的正弦值為=
所以夾角∠APB=60°
故選C．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切的關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，常考題型．