Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓:的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2 ， 以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓:為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線y=kx=m交橢圓 于,兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).
(1)求的值；
(1)求面積的最大值

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

(1)2;(2)

【解析】（I)由題意知2a＝4，則a＝2,又＝,可得b=1
所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
（II）由（1）知橢圓E的方程為
(1設(shè)，=，由題意知，應(yīng)為,
又,即=2
（2）A,B,將y=kx+m代入E的方程
由，可得.......................①
則有+=
所以=
應(yīng)為直線y=kx+m與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m)
所以的面積
,將y=kx+m代入圓C的方程可得
由，可得............................................②
由①②可知
因此，故
當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時(shí)取最大值
由（1）知，面積為，所以面積最大值為
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)的最值及其幾何意義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．