Question

（2012•浦東新區(qū)一模）定義數(shù)列{x_n}，如果存在常數(shù)p，使對(duì)任意正整數(shù)n，總有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我們稱數(shù)列{x_n}為“p-擺動(dòng)數(shù)列”．
（1）設(shè)a_n=2n-1，bn=(-

1

2

)n，n∈N^*，判斷{a_n}、{b_n}是否為“p-擺動(dòng)數(shù)列”，并說明理由；
（2）已知“p^-擺動(dòng)數(shù)列”{c_n}滿足c_n+1=

1

cn+1

，c₁=1，求常數(shù)p的值；
（3）設(shè)d_n=（-1）ⁿ•（2n-1），且數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：數(shù)列{S_n}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，并求出常數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目給出的擺動(dòng)數(shù)列的定義，對(duì)數(shù)列{a_n}加以驗(yàn)證，看是否存在常數(shù)p，使得2n-1＜p＜2n+1對(duì)任意n成立，只要n去不同的值1，2，即可發(fā)現(xiàn)p不存在，而對(duì)于數(shù)列{b_n}，滿足bnbn+1=(-

1

2

)2n+1＜0對(duì)任意n成立，所以，p可取值為0；
（2）由數(shù)列{c_n}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，且滿足c_n+1=

1

cn+1

，c₁=1，求出c₂后可斷定常數(shù)p的初步范圍，再由（x_n+1-p）（x_n-p）＜0對(duì)任意正整數(shù)n成立，得出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都小于p，偶數(shù)項(xiàng)都大于p，或奇數(shù)項(xiàng)都大于p，偶數(shù)項(xiàng)都小于p，然后利用“兩邊夾”的辦法可求p的值；
（3）由d_n=（-1）ⁿ•（2n-1），求出數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和，由前n項(xiàng)和看出p=0時(shí)即可使數(shù)列{S_n}滿足“p-擺動(dòng)數(shù)列”的定義，然后根據(jù)數(shù)列{S_n}在n為奇數(shù)和n為偶數(shù)時(shí)的單調(diào)性即可求出p的范圍．

解答：解：（1）假設(shè)數(shù)列{a_n}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，
即存在常數(shù)p，總有2n-1＜p＜2n+1對(duì)任意n成立，
不妨取n=1時(shí)，則1＜p＜3，取n=2時(shí)，則3＜p＜5，顯然常數(shù)p不存在，
所以數(shù)列{a_n}不是“p-擺動(dòng)數(shù)列”；
由bn=(-

1

2

)n，于是bnbn+1=(-

1

2

)2n+1＜0對(duì)任意n成立，其中p=0．
所以數(shù)列{b_n}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”．
（2）由數(shù)列{c_n}為“p-擺動(dòng)數(shù)列”，又c₁=1，所以c2=

1

2

，
即存在常數(shù)

1

2

＜p＜1，使對(duì)任意正整數(shù)n，總有（c_n+1-p）（c_n-p）＜0成立；
即有（c_n+2-p）（c_n+1-p）0，
所以c₁＞p⇒c₃＞p⇒…⇒c_2n-1＞p．
同理c₂＜p⇒c₄＜p⇒…⇒c_2n＜p．
所以c_2n＜p＜c_2n-1⇒

1

c2n-1+1

＜c2n-1，解得c2n-1＞

5 -1

2

，
即p≤

5 -1

2

．
同理

1

c2n+1

＞c2n，解得c2n＜

5 -1

2

，即p≥

5 -1

2

．
綜上p=

5 -1

2

．
（3）證明：由dn=(-1)n•(2n-1)
Sn=(-1)+3+(-5)+…+(-1)n(2n-1)．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=2×

n

2

=n
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=2×

n-1

2

+(-1)n•(2n-1)=-n
所以，Sn=(-1)n•n，
顯然存在p=0，使對(duì)任意正整數(shù)n，總有SnSn+1=(-1)2n+1•n(n+1)＜0成立，
所以數(shù)列{S_n}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)S_n=-n遞減，所以S_n≤S₁=-1，只要p＞-1即可
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)S_n遞增，S_n≥S₂，只要p＜2即可
綜上-1＜p＜2，p的取值范圍是（-1，2）．
如取p=

1

2

時(shí)，(Sn-

1

2

)(Sn+1-

1

2

)=[(-1)n-

1

2

][(-1)n+1(n+1)-

1

2

]
=(-1)2n+1•n(n+1)+

1

2

(-1)n+

1

4

=-n(n+1)+

1

2

(-1)n+

1

4

．
因?yàn)?span id="xum9fni" class="MathJye">-

1

4

≤

1

2

(-1)n+

1

4

≤

3

4

，-n（n+1）≤-2，
存在p=

1

2

，使(Sn-

1

2

)(Sn+1-

1

2

)＜0成立．
所以數(shù)列{S_n}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義下的等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合題，考查了學(xué)生的發(fā)散思維能力，解答此題的關(guān)鍵是在理解定義的基礎(chǔ)上，把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)來解決，用到了證明不等式的“兩邊夾”的方法，此題是有一定難度的問題．