Question

已知函數(shù)f（x）=ax+b，x∈（-1，1），a、b∈R是常數(shù)．
（1）若a是從-2、-1、0、1、2五個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0、1、2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)的概率．
（2）若a是從區(qū)間[-2，2]中任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個數(shù)，求函數(shù)y=f（x）有零點的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，可以列舉法來解題，函數(shù)f（x）=ax+b，x∈[-1，1]為奇函數(shù)得到b=0，列舉出基本事件，滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=ax+b，x∈[-1，1]有零點，列舉出所有事件，根據(jù)古典概型公式得到結果．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，構成事件A的區(qū)域為{（a，b）|a=b=0}∪{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2，a≠0且（a+b）（b-a）＜0}，做出面積，求出比值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，可以列舉法來解題，
函數(shù)f（x）=ax+b，x∈[-1，1]為奇函數(shù)，
當且僅當?x∈[-1，1]，f（-x）=-f（x），即b=0，
基本事件共15個：（-2，0）、（-2，1）、（-2，2）、（-1，0）、（-1，1）、（-1，2）、（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、（2，0）、（2，1）、（2，2），
其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值，
事件A即“函數(shù)f（x）=ax+b，x∈[-1，1]有零點”
包含的基本事件有5個：（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）
∴事件A發(fā)生的概率為P(A)=

5

15

=

1

3

．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，
∵試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，區(qū)域面積為4×2=8，
構成事件A的區(qū)域為{（a，b）|a=b=0}∪{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2，a≠0且（a+b）（b-a）＜0}，
即{(a，b)|a=b=0}∪{(a，b)|-2≤a≤2，0≤b≤2，a≠0且-1＜

b

a

＜1}，
區(qū)域面積為

1

2

×4×2=4，
∴事件A發(fā)生的概率為P(A)=

4

8

=

1

2

．

點評：本題主要考查古典概型和幾何概型，解決古典概型問題時最有效的工具是列舉，大綱中要求能通過列舉解決古典概型問題，也有一些題目需要借助于排列組合來計數(shù)．