Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn) ，兩個(gè)焦點(diǎn)為（，0），（，0）.

（1）求橢圓的方程；

（2）求以點(diǎn) 為中點(diǎn)的弦所在的直線方程，并求此時(shí)的面積.

Answer 1

【答案】（1） （2）直線的方程為

【解析】

（1）由橢圓C兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點(diǎn)，列出方程組，求出，由此求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，由恰是弦AB的中點(diǎn)，得，把代入橢圓，利用點(diǎn)差法能求出弦AB所在直線斜率，從而求得直線的方程，進(jìn)一步求得三角形的面積.

（1）因?yàn)闄E圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，

并且經(jīng)過點(diǎn)，

所以，

解得，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，

因?yàn)檫^橢圓C內(nèi)一點(diǎn)做一條直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，

點(diǎn)M恰為弦AB的中點(diǎn)，所以，

把代入橢圓，得：

，兩式相減得，

所以，

所以弦AB所在的直線方程為：，即；

由，可得，

由弦長(zhǎng)公式可求得，

點(diǎn)O到直線的距離為，

由三角形面積公式可求得.