Question

（理科）已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₃=3，a₇=7，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，q=a（a≠0），a6=a6．
（1）求數(shù)列的{a_n}、{b_n}通項公式；
（2）已知數(shù)列c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項的和．

Answer 1

分析：（1）直接利用a₃=3，a₇=7，列出關于首項和公差的等式，求出首項和公差即可求{a_n}的通項公式；數(shù)列{b_n}是公比為a的等比數(shù)列，再求出首項即可求{b_n}的通項公式；
（2）先整理出{c_n}的通項公式，因為是一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列，所以直接利用錯位相減法求和即可；

解答：解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，且a₃=3，a₇=7，設公差為d，
∴

a1+2d=3 a1+6d=7

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=1+（n-1）•1=n（n∈N*）；
在{b_n}中，q=a（a≠0），b₆=b₁•q⁵=b₁•a⁵=a⁶，
∴b₁=a．
∴{b_n}是首項為a公比為a的等比數(shù)列，
∴b_n=aⁿ（n∈N*）．
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•aⁿ，設數(shù)列{c_n}的前n項的和為s_n，
則s_n=1•a+2•a²+3•a³+…+n•aⁿ，①
∴as_n=1•a²+2•a³+…+（n-1）•aⁿ+n•aⁿ⁺¹②
①-②得：（1-a）s_n=a+a²+a³+…+aⁿ-n•aⁿ⁺¹
當a=1時，b_n=1，s_n=1+2+3+…+n=

(1+n)n

2

；
當a≠1時，s_n=

a-an+1

(1-a)2

-

n•an+1

1-a

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，第二問考查了數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列，屬于難題．