Question

【題目】如圖1所示，在矩形中，，，為中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到點(diǎn)處，且平面平面，如圖2所示.

（1）求證：：

（2）在棱上取點(diǎn)，使平面平面，求平面與所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）余弦值為.

【解析】

(1)在矩形中,連接交于點(diǎn),則由可推出,因此有,故在翻折后的四棱錐中,有,據(jù)此推出平面,從而有;

(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),由平面平面可推出平面,即有,結(jié)合,可知平面,即,設(shè),再結(jié)合可求出,最后再利用空間向量法求二面角的余弦值即可.

(1)在矩形中,連接交于點(diǎn),

由題知,,,

所以,即,

又,所以,

所以,即,

故在翻折后的四棱錐中,有,

又,所以平面,

又平面,所以;

(2)如圖所示,以點(diǎn)為原點(diǎn),方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

在矩中,經(jīng)計(jì)算可得,

因此,

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),

因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,

所以平面,所以,

又由(1)知,且,

所以平面,

所以,即有,

因?yàn)辄c(diǎn)在上,設(shè),則,

由解得,即,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,

由,

令,即,

又平面的一個(gè)法向量為,

所以,

所以平面與所成銳二面角的余弦值為.