Question

在直角坐標系中，有一點列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…對每一個正整數(shù)n，點P_n在給定的函數(shù)，y=log₃（2x）的圖象上，點P_n和點（（n-1，0）與點（n，0）構(gòu)成一個以P_n為頂點的等腰三角形．
（I） 求點P_n的縱坐標b_n的表達式；
（II） 記c_n=，n∈N₊．
①證明；
②是否存在實數(shù)k，使得對一切n∈N₊均成立，若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得，然后由點P_n在給定的函數(shù)，y=log₃（2x）的圖象可求b_n
（Ⅱ）①由c_n==2n-1，然后利用錯位相減求和方法可求，然后進行證明
②由k恒成立，要求k的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性求解g（n）的最小值，從而k≤g（n）的最小值，即可求解k的范圍
解答：解：（Ⅰ）∵P_n（a_n，b_n），（n-1，0）與點（n，0）構(gòu)成一個以P_n為頂點的等腰三角形
∴       …（2分）
又因為點P_n在給定的函數(shù)，y=log₃（2x）的圖象
∴b_n=log₃（2n-1）…（4分）
（Ⅱ）①∵c_n==2n-1------------------（5分）
設(shè)D_n=
則D_n=①
∴        ②…（6分）
由①-②得：
∴
=1+2-
=3-＜3--------（9分）
②由已知得k對一切n∈N₊均成立．
∴=×
==＞1-------（12分）
∴g（n）單調(diào)遞增．最小值為g（1）=--------（13分）
又∵k≤g（n）對一切n∈N₊均成立．
∴k．
…（14分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，錯位相減求和方法的應(yīng)用，及函數(shù)的單調(diào)性在求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立與函數(shù)最值求解的相互轉(zhuǎn)化．