Question

已知四棱錐P-ABCD的正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為4、腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，圖1、圖2分別是四棱錐P-ABCD的側(cè)視圖和俯視圖．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAB的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三視圖形狀可得側(cè)面PDC⊥平面ABCD，結(jié)合矩形ABCD中AD⊥CD，由面面垂直的性質(zhì)得AD⊥側(cè)面PDC．再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，結(jié)合PC?側(cè)面PDC可證出AD⊥PC；
（2）取CD的中點(diǎn)E，連接PE、AE．由三視圖的形狀并結(jié)合面面垂直、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，算出PA=PB=

13

，最后在△PAB中利用正、余弦定理可算出△PAB的面積，即得側(cè)面PAB的面積．

解答：解：（1）根據(jù)三視圖，可得側(cè)面PDC⊥平面ABCD
∵AD⊥CD，側(cè)面PDC∩平面ABCD=CD，AD?平面ABCD
∴AD⊥側(cè)面PDC
∵PC?側(cè)面PDC，∴AD⊥PC；
（2）取CD的中點(diǎn)E，連接PE、AE，
∵根據(jù)三視圖，得△PCD中，PD=PC=3，CD=4
∴PE=

32-22

=

5

Rt△ADE中，AD=DE=2，可得AE=

AD2+DE2

=2

2

∵側(cè)面PDC⊥平面ABCD，側(cè)面PDC∩平面ABCD=CD，
PE?側(cè)面PDC，PE⊥CD
∴PE⊥平面ABCD，結(jié)合AE?平面ABCD，可得AE⊥PE
因此，Rt△PAE中，PA=

AE2+PE2

=

13

．同理可得PB=

13

∴△PAB中，cos∠APB=

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=

5

13

由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得sin∠APB=

1-( 5 13 )2

=

12

13

∴S_△PAB=

1

2

PA•PBsin∠APB=

1

2

×

13

×

13

×

12

13

=6
即側(cè)面PAB的面積為6．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三視圖，要求我們證明線(xiàn)線(xiàn)垂直并求側(cè)面三角形的面積，著重考查了三視圖求面積和面面垂直、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理等知識(shí)，屬于中檔題．