Question

已知三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）為奇函數(shù)，且在點(diǎn)（1，f（1）） 的切線方程為y=2x-2．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（2）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₀，f（x₀））處的切線方程，并求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₀，f（x₀））處的切線與曲線y=f（x）圍成封閉圖形的面積．
（3）如果過點(diǎn)（2，t）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)得f（-x）+f（x）=0恒成立可求得b，d值，求出y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）） 的切線方程，對比y=2x-2的系數(shù)可求得a，c值；
（2）寫出點(diǎn)M處切線方程，聯(lián)立方程組求得另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)分x₀＞0時(shí)，x₀＜0時(shí)，x₀=0時(shí)三種情況利用定積分即可求得；
（3）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），寫出過點(diǎn)（2，t）的切線方程，問題轉(zhuǎn)化為2x03-6x02+t+2=0  關(guān)于x₀有三個(gè)不同的解，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出極值，借助圖形可得限制條件；

解答：解：（1）f（-x）+f（x）=0，所以bx²+d=0恒成立，
所以b=d=0，
所以f（x）=ax³+cx，
又f′（x）=3ax²+c，所以在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程為y=（3a+c）（x-1）+a+c，即y=（3a+c）x-2a，
所以

3a+c=2 -2a=-2

，解得

a=1 c=-1

，
所以f（x）=x³-x．
（2）解：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），f′（x）=3x²-1，
則切線方程是：y=（3x02-1）（x-x₀）+（x03-x0），
令x³-x=（3x02-1）（x-x₀）+（x03-x₀），得x3-3x02x+2x03=0，
所以（x-x₀）²（x+2x₀）=0，所以曲線與切線的另一公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-2x₀，
x₀＞0時(shí)，S=

∫

x0 -2x0

(x3-3x02x+2x03)dx=（

1

4

x⁴-

3

2

x02x2+2x03x）

|

x0 -2x0

=

27

4

x04，
x₀＜0時(shí)，S=-

∫

-2x0 x0

(x3-3x02x+2x03)dx=

∫

x0 -2x0

(x3-3x02x+2x03)dx=

27

4

x04，
x₀=0時(shí)，切線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，S=0=

27

4

x04，
綜上：曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₀，f（x₀））處的切線與曲線y=f（x）圍成封閉圖形的面積S=

27

4

x04（x₀∈R）．
（3）解：令切線過（2，t），代入整理得：
2x03-6x02+t+2=0  關(guān)于x₀有三個(gè)不同的解；
設(shè)g（x）=2x³-6x²+t+2，即g（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)；      
又g′（x）=6x（x-2），
所以x∈（0，2）時(shí)g′（x）＜0，g（x）遞減；x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在區(qū)間（-∞，0）∪（2，+∞）上分別遞增，
故

g(0)=t+2＞0 g(2)=t-6＜0

，解得-2＜t＜6．
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為-2＜t＜6．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，考查定積分求圖形面積，考查分類討論思想，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．