Question

在對口扶貧活動中，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以優(yōu)惠價格轉讓給了小型殘疾人企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中逐步償還（不計利息）．在甲提供的資料中有：①這種消費品的進價為每件30元；②該店日銷售量Q（件）與銷售單價x（元/件）的關系是：Q(x)=

-3x+162 (30≤x≤45) -2x+132 (45＜x≤66)

；③該店每日所需各項開支為120元．
（1）寫出企業(yè)乙每日的經(jīng)營利潤函數(shù)f（x）；
（2）當商品每件單價為多少元時，函數(shù)f（x）有最大值？并求出此最大值．

Answer 1

分析：（1）企業(yè)乙每日的經(jīng)營利潤為該店日銷售利潤，減去該店每日所需各項開支，根據(jù)條件，先求出該店日銷售利潤，進而可求企業(yè)乙每日的經(jīng)營利潤函數(shù)f（x）；
（2）利用配方法，分段求出函數(shù)的最值，比較其結果，確定函數(shù)f（x）的最大值．

解答：解：（1）企業(yè)乙每日的經(jīng)營利潤為該店日銷售利潤，減去該店每日所需各項開支
∵這種消費品的進價為每件30元，該店日銷售量Q（件）與銷售單價x（元/件）的關系是Q(x)=

-3x+162 (30≤x≤45) -2x+132 (45＜x≤66)

，
∴該店日銷售利潤為g(x)=x•Q(x)=

(-3x+162 )(x-30)，(30≤x≤45) (-2x+132)(x-30)， (45＜x≤66)

∴g(x)=

-3x2+252x-4860，(30≤x≤45) -2x2+192x-3960， (45＜x≤66)

∴f(x)=

-3x2+252x-4980，(30≤x≤45) -2x2+192x-4080， (45＜x≤66)

（2）當30≤x≤45時，f（x）=-3x²+252x-4980=-3（x-42）²+312
∴x=42時，函數(shù)的最大值為312
當45＜x≤66時，f（x）=-2x²+192x-4080=-2（x-48）²+528
∴x=48時，函數(shù)的最大值為528
綜上知，商品每件單價為48元時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為528．

點評：本題主要考查了分段函數(shù)的解析式，以及分段函數(shù)的最值和函數(shù)模型的選擇與應用，同時考查計算能力，函數(shù)模型的構建是關鍵，屬于中檔題．