Question

17、17、一場晚會有5個唱歌節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單
（1）前4個節(jié)目中要有舞蹈，有多少種排法？
（2）3個舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少種排法？
（3）3個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？

Answer 1

分析：（1）先不考慮限制條件，8個節(jié)目全排列有A₈⁸種方法，前4個節(jié)目中要有舞蹈的否定是前四個節(jié)目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，用所有的排列減去不符合條件的排列，得到結(jié)果．
（2）要把3個舞蹈節(jié)目要排在一起，則可以采用捆綁法，把三個舞蹈節(jié)目看做一個元素和另外5個元素進行全排列，不要忽略三個舞蹈節(jié)目本身也有一個排列．
（3）3個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，可以用插空法來解，即先把5個唱歌節(jié)目排列，形成6個位置，選三個把舞蹈節(jié)目排列．

解答：解（1）∵8個節(jié)目全排列有A₈⁸=40320種方法，
若前4個節(jié)目中要有舞蹈的否定是前四個節(jié)目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，
∴前4個節(jié)目中要有舞蹈有A₈⁸-A₅⁴A₄⁴=37400，．
（2）∵3個舞蹈節(jié)目要排在一起，
∴可以把三個舞蹈節(jié)目看做一個元素和另外5個元素進行全排列，
三個舞蹈節(jié)目本身也有一個排列有A₆⁶A₃³=4320，
（3）3個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，
可以用插空法來解，
先把5個唱歌節(jié)目排列，形成6個位置，選三個把舞蹈節(jié)目排列，
有A₅⁵A₆³=14400．

點評：本題是一個排列組合典型，文科在高考時能考到，理科近幾年單獨考查排列組合的題目都是以選擇和填空出現(xiàn)，實際上所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題．