Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)（0，2），且離心率e=

2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，在橢圓C上任意取不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，若直線AB過定點(diǎn)T（2，0），求證：直線A′B過定點(diǎn)P（4，0）．

Answer 1

分析：（1）由于橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)（0，2），且離心率e=

2

2

．可得

c a = 2 2 b=2 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則A′（x₁，-y₁）．由題意可知直線AB的斜率存在．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-2），與聯(lián)立與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系．
由直線A′B方程：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，令y=0，化為x=

y1x2+y2x1

y1+y2

，再利用y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
分別得到y(tǒng)₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁x₂+y₂x₁=kx₂（x₁-2）+kx₁（x₂-2）=2k[x₁x₂-（x₁+x₂）]．即可證明．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)（0，2），且離心率e=

2

2

．
∴

c a = 2 2 b=2 a2=b2+c2

，解得

b=c=2 a=2 2

．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則A′（x₁，-y₁）．
由題意可知直線AB的斜率存在．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-2），
聯(lián)立

y=k(x-2) x2 8 + y2 4 =1

，化為（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
∴x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-8

1+2k2

．
由直線A′B方程：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，化為x=

y1x2+y2x1

y1+y2

，
∵y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=

-4k

1+2k2

．
y₁x₂+y₂x₁=kx₂（x₁-2）+kx₁（x₂-2）=2k[x₁x₂-（x₁+x₂）]=2k•(

8k2-8

1+2k2

-

8k2

1+2k2

)=

-16k

1+2k2

．
∴x=

-16k 1+2k2

-4k 1+2k2

=4．即直線A′B過定點(diǎn)P（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線過定點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．