Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，且f(x)•f[f(x)+

1

x

]=1，則f（1）=（　�。�

• A、1
• B、

  1+ 5

  2

  或

  1- 5

  2

• C、

  1+ 5

  2

• D、

  1- 5

  2

Answer 1

分析：由題意設(shè)f（1）=t，代入關(guān)系式可求出f（t+1），再令x=t+1代入關(guān)系式，建立關(guān)于t的方程，求出方程的解即t的值．

解答：解：故設(shè)f（1）=t，由題意知t≠0，則代入f(x)•f[f(x)+

1

x

]=1得，
f（1）f[f（1）+1]=1，即f（t+1）=

1

t

，
令x=t+1代入f(x)•f[f(x)+

1

x

]=1得，f（t+1）f[f（t+1）+

1

t+1

]=1，
∴f（

1

t

+

1

t+1

）=t=f（1），
∵在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，
∴

1

t

+

1

t+1

=1，化簡得t²-t-1=0，
解得，t=

1+ 5

2

或

1- 5

2

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)求值，由關(guān)系式無法確定f（x），故設(shè)所要求的函數(shù)值代入關(guān)系式，逐步賦值后建立方程，求出方程的解，即關(guān)鍵根據(jù)關(guān)系式靈活給x賦值．