Question

【題目】已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，求函數(shù)f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：總存在正實(shí)數(shù)a、b（a＜b），使ab=ba ， 試問(wèn)：他的判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若正確，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍（不需要解答過(guò)程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：定義域?yàn)椋?，+∞）， ，

令 ，則x=e，

當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	↗		↘

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，e）；單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）

（2）解：由（1）知f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以，

當(dāng)4a≤e時(shí)，即 時(shí)，f（x）在[2a，4a]上單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（2a）；

當(dāng)2a≥e時(shí)，f（x）在[2a，4a]上單調(diào)遞減，∴f（x）min=f（4a）

當(dāng)2a＜e＜4a時(shí)，即 時(shí)，f（x）在[2a，e]上單調(diào)遞增，f（x）在[e，4a]上單調(diào)遞減，

∴f（x）min=min{f（2a），f（4a）}．

下面比較f（2a），f（4a）的大小，

∵ ，

∴若 ，則f（a）﹣f（2a）≤0，此時(shí) ；

若 ，則f（a）﹣f（2a）＞0，此時(shí) ；

綜上得：

當(dāng)0＜a≤1時(shí)， ；

當(dāng)a＞1時(shí)，

（3）解：正確，a的取值范圍是1＜a＜e

理由如下，考慮幾何意義，即斜率，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0

又∵f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減

∴f（x）的大致圖象如右圖所示

∴總存在正實(shí)數(shù)a，b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即 ，即ab=ba．

【解析】（1）先確定函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的定義域，分類討論，可求函數(shù)f（x）在[2a，4a]上的最小值；（3）a的取值范圍是1＜a＜e，利用f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，即可求得．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．