Question

（本小題滿分14分）

設(shè)直線. 若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對任意x∈R，都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．

（Ⅰ）已知函數(shù)．求證：為曲線的“上夾線”．

（Ⅱ）觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由得， ……………………………1分

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，， ………………2分

，所以是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)； …………………3分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，…4分

，所以是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)； ……………5分

所以直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；

對任意x∈R，，

所以， ……………………………………………………………………6分

因此直線是曲線的“上夾線”．……………………7分

（Ⅱ）推測：的“上夾線”的方程為，……………9分

①先檢驗(yàn)直線與曲線相切，且至少有兩個(gè)切點(diǎn)：

設(shè)：，

令，得：（k∈Z），…………………………10分

當(dāng)時(shí)，，

故過曲線上的點(diǎn)(，m()+n)的切線方程為：

y-[ m()+n]=m[x-()]化簡得：．

即直線與曲線相切且有無數(shù)個(gè)切點(diǎn)．…………………12分

不妨設(shè)，②下面檢驗(yàn)g(x) ≥ F(x)，g(x)－F(x)=，

直線是曲線的“上夾線”．………………………………14分

 

【解析】略