Question

設數列{a_n}、{b_n}滿足，且，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）對一切n∈N^*，證明成立；
（Ⅲ）記數列{a_n²}、{b_n}的前n項和分別是A_n、B_n，證明：2B_n-A_n＜4．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由2na_n+1=（n+1）a_n，得，由此可求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由，知要證明，只需證明ln（1+a_n）-a_n＜0成立．構造函數f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），則，當x＞0時，f'（x）＜0，故f（x）＜f（0）=0．ln（1+a_n）-a_n＜0對一切n∈N^*都成立．
（Ⅲ）由2b_n-a_n²=2ln（1+a_n）＜2a_n，知，利用錯位相減求得2B_n-A_n＜4．
解答：解：（Ⅰ）由2na_n+1=（n+1）a_n，得，（1分）
即數列是以為首項，以為公比的等比數列，∴（3分）
（Ⅱ）∵，
∴要證明，只需證明2b_n＜a_n²+2a_n，
即證，即證明ln（1+a_n）-a_n＜0成立．（5分）
構造函數f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），（6分）
則，當x＞0時，f'（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上單調遞減，
故f（x）＜f（0）=0．∴l(xiāng)n（1+x）-x＜0，即ln（1+a_n）-a_n＜0對一切n∈N^*都成立，
∴．（8分）
（Ⅲ）∵2b_n-a_n²=2ln（1+a_n），由（Ⅱ）可知，2b_n-a_n²=2ln（1+a_n）＜2a_n，
∴2B_n-A_n＜2（a₁+a₂++a_n）=2（10分）
利用錯位相減求得：，∴2B_n-A_n＜4（12分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意構造和錯位相減法的合理運用．