Question

【題目】回答下列兩個(gè)問(wèn)題, 并給出例子或證明.

(1)對(duì)任意正整數(shù), 在平面上是否都存在個(gè)不在同一條直線上的點(diǎn), 使得任意兩點(diǎn)間的距離都為正整數(shù)?

(2)在平面上是否存在兩兩不同的無(wú)限點(diǎn)列組成的點(diǎn)集, 使得內(nèi)所有點(diǎn)不在同一條直線上, 且內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離為正整數(shù)?

Answer 1

【答案】（1）存在.（2）不存在

【解析】

（1）存在.

對(duì)于任意的（），取互不相同的個(gè)質(zhì)數(shù).

令，

顯然，.

令，

于是，.

在軸上取點(diǎn)，在軸上取點(diǎn)，

易知，這個(gè)點(diǎn)，不在同一條直線上，且

為整數(shù).

故為整數(shù).

（2）不存在.

若不然, 假設(shè)存在不共線的無(wú)限點(diǎn)列組成的點(diǎn)集,且內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離都為正整數(shù).取不共線的三點(diǎn)∈, 注意到,到之間的整數(shù)值.

而一到之間的整數(shù)值總共只有有限個(gè),

由雙曲線定義可知, 內(nèi)除去三點(diǎn)的其余無(wú)限多個(gè)點(diǎn)必在以點(diǎn)A 和點(diǎn)B 為兩個(gè)焦點(diǎn)的有限條互不相交的雙曲線上, 稱(chēng)它們?yōu)?/span>AB 族雙曲線.

同理, 內(nèi)除去三點(diǎn)的其余無(wú)限多個(gè)點(diǎn)必在以點(diǎn)B 和點(diǎn)C 為兩個(gè)焦點(diǎn)的有限條互不相交的雙曲線上, 稱(chēng)它們?yōu)?/span>BC族雙曲線.

由于三點(diǎn)不共線, 故兩族雙曲線的交點(diǎn)顯然只有有限個(gè).

然而,內(nèi)除去三點(diǎn)的其余無(wú)限多個(gè)點(diǎn)中的每個(gè)點(diǎn)既在AB 族雙曲線上,

又在BC 族雙曲線上,從而, 必在兩族雙曲線的交點(diǎn)上.而兩族雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有限, 矛盾.