Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E為DD₁的中點．
（1）求證：BD₁∥平面EAC；
（2）求點D₁到平面EAC的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證BD₁∥平面EAC，只需在平面EAC內(nèi)找一條直線BD₁與平行，根據(jù)中位線定理可知EF∥D₁B，滿足線面平行的判定定理所需條件，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)D₁到平面EAC的距離為d，根據(jù)VD1-EAC=VA-ED1C建立等式關(guān)系可求出d，即可求出點D₁到平面EAC的距離．

解答：解：（1）證明：連接BD交AC于F，連EF．（1分）
因為F為正方形ABCD對角線的交點，
所長F為AC、BD的中點．（3分）
在DDD₁B中，E、F分別為DD₁、DB的中點，
所以EF∥D₁B．（5分）
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．（7分）
（2）設(shè)D₁到平面EAC的距離為d．
在DEAC中，EF^AC，且AC=

2

a，EF=

3

2

a，
所以S△EAC=

1

2

EF•AC=

6

4

a2，
于是VD1-EAC=

1

3

dS△EAC=

6

12

a2d．（9分）
因為VA-ED1C=

1

3

AD•S△ED1C=

1

3

a×

1

2

×

1

2

a×a=

1

12

a3，（11分）
又VD1-EAC=VA-ED1C，即

6

12

a2d=

1

12

a3，（13分）
解得d=

6

6

a，故D₁到平面EAC的距離為

6

6

a．（14分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定以及點到平面距離的度量，同時考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化能力和計算求解的能力，屬于中檔題．