Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1．
（1）求使函數(shù)取得最大值的集合；
（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）指出函數(shù)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)哪些變換而得到．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)原函數(shù)化簡(jiǎn)整理為f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

），令

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

2

，即可求出使函數(shù)取得最大值的集合；
（2）直接利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的求法，令2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）直接利用函數(shù)圖象的左加右減上加下減以及伸縮變換的規(guī)律即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="o4atbs5" class="MathJye">f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1
=cos

x

2

+

3

sin

x

2

=2sin(

x

2

+

π

6

)，…（2分）
所以：當(dāng)sin(

x

2

+

π

6

)=1時(shí)，函數(shù)取得最大值2，…（4分）
令

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

2

，得x=4kπ+

2π

3

，k∈Z，
即使函數(shù)取得最大值的集合是{x|x=4kπ+

2π

3

，k∈Z}．…（6分）
（2）令2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，k∈Z，
所以；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[4kπ+

2π

3

， 4kπ+

8π

3

]，k∈Z．…（10分）
（3）將的圖象上每一點(diǎn)向左平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度，再將每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），
再將每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）．
或：將的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移

π

3

個(gè)單位長(zhǎng)度，
再將每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的平移以及三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法．三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．注意左右平移時(shí)，平移的是自變量本身．