Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=1，AA₁=AD=2．點E為AB中點．
（1）求三棱錐A₁-ADE的體積；
（2）求證：A₁D⊥平面ABC₁D₁；
（3）求證：BD₁∥平面A₁DE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，可知三棱錐A₁-ADE的高，然后求出三角形ADE的面積，最后利用錐體的體積公式求出三棱錐A₁-ADE的體積即可；
（2）欲證A₁D⊥平面ABC₁D₁，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證A₁D與平面ABC₁D₁內(nèi)兩相交直線垂直，而根據(jù)條件可知AB⊥A₁D，AD₁⊥A₁D，又AD₁∩AB=A，滿足定理所需條件；
（3）欲證BD₁∥平面A₁DE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BD₁與平面A₁DE內(nèi)一直線平行即可，根據(jù)中位線可知OE∥BD₁，又OE?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE，滿足定理所需條件．

解答：解：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因為AB=1，E為AB的中點，所以，AE=

1

2

，
又因為AD=2，所以S△ADE=

1

2

AD•AE=

1

2

×2×

1

2

=

1

2

，（2分）
又AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，
所以，三棱錐A₁-ADE的體積V=

1

3

   S△ADE•AA1=

1

3

 ×

1

2

×2=

1

3

．（4分）
（2）因為AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，
所以AB⊥A₁D．（6分）
因為ADD₁A₁為長方形，所以AD₁⊥A₁D，（7分）
又AD₁∩AB=A，所以A₁D⊥平面ABC₁D₁．（9分）
（3）設(shè)AD₁，A₁D的交點為O，連接OE，
因為ADD₁A₁為正方形，所以O(shè)是AD₁的中點，（10分）
在△AD₁B中，OE為中位線，所以O(shè)E∥BD₁，（11分）
又OE?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE，（13分）
所以BD₁∥平面A₁DE．（14分）

點評：本題主要考查了線面平行、線面垂直的判定定理以及體積的求法．涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．