Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是AB，A₁C的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面BCC₁B₁．
（2）求證：MN⊥平面A₁B₁C．
（3）求三棱錐M-A₁B₁C的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接BC₁，AC₁，通過M，N是AB，A₁C的中點(diǎn)，利用MN∥BC₁．證明MN∥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）說明四邊形BCC₁B₁是正方形，連接A₁M，CM，通過△AMA₁≌△AMC．說明MN⊥A₁C然后證明MN⊥平面A₁B₁C．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN是三棱錐M-A₁B₁C的高．在直角△MNC中．求出．即可解得．
解答：（Ⅰ）證明：連接BC₁，AC₁，∵M(jìn)，N是AB，A₁C的中點(diǎn)∴MN∥BC₁．
又∵M(jìn)N不屬于平面BCC₁B₁，∴MN∥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，
∴四邊形BCC₁B₁是正方形．
∴BC₁⊥B₁C．∴MN⊥B₁C．
連接A₁M，CM，△AMA₁≌△BMC．
∴A₁M=CM，又N是A₁C的中點(diǎn)，∴MN⊥A₁C．
∵B₁C與A₁C相交于點(diǎn)C，
∴MN⊥平面A₁B₁C．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知MN是三棱錐M-A₁B₁C的高．
在直角△MNC中，，∴．
又．．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．