Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）
①當a=

1

2

時，求函數(shù)在[1，e]上的最大值和最小值；
②討論函數(shù)的單調(diào)性；
③若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，不等式f（x）≥bx-2對?x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：①當a=

1

2

時f（x）=

1

2

x-1-lnx，然后求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，然后與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，從而可求出函數(shù)的最大值和最小值；
②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論參數(shù)的取值，令f'（x）＞0，可求出函數(shù)的增區(qū)間，令f'（x）＜0，從而確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
③利用函數(shù)在x=1處取得極值，建立方程求的a，然后把不等式轉(zhuǎn)化為最值恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答：解：①當a=

1

2

時f（x）=

1

2

x-1-lnx，f′(x)=

1

2

-

1

x

，由f′(x)=

1

2

-

1

x

=0，得x=2．
當x＞2時，f'（x）＞0，當0＜x＜2時，f'（x）＜0．因為x∈[1，e]，所以f（x）_極小值=f（x）_min=f（2）=-ln2
又f(1)=-

1

2

，f(e)=

e

2

-2=

e-4

2

＜-

1

2

，所以函數(shù)在[1，e]上的最大值是-

1

2

，最小值是-ln2．
②f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

(x＞0)
當a＞0時，令f'（x）＞0，得x＞

1

a

，由f'（x）＜0得x＜

1

a

，所以f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減．在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增．
當a=0時，f'（x）=-

1

x

＜0恒成立．所以f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)
當a＜0時，f'（x）=

ax-1

x

＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
綜上，當a＞0時，f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在(

1

a

，+∞)單調(diào)遞增，
當a≤0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
③f′(x)=a-

1

x

，依題意：f'（1）=a-1=0，a=1，所以f（x）=x-1-lnx
又f（x）≥bx-2對?x∈（0，+∞）恒成立恒成立．
即x-1-lnx≥bx-2，所以b≤

1

x

+1-

ln?x

x

在x∈（0，+∞]上恒成立
令g(x)=

1-lnx

x

+1，x＞0，則g′(x)=

-2+ln?x

x2

當0＜x＜e²時，g'（x）＜0．當x＞e²時，g'（x）＞0，
所以當x=e²時，g(e2)min=1-

1

e2

，所以b≤1-

1

e2

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大值和最小值問題，以及對于不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為最值恒成立．