Question

已知動圓過定點（

p

2

，0），且與直線x=-

p

2

相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π且θ≠

π

2

）時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）設(shè)M為動圓圓心，（

p

2

，0）為記為F，過點M作直線x=-

p

2

的垂線，垂足為N，進(jìn)而可知動點M到定點F與定直線x=-

p

2

的距離相等，進(jìn)而推斷點M的軌跡為拋物線，進(jìn)而根據(jù)拋物線性質(zhì)可得答案．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)其方程為y=kx+b，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂，y₁•y₂，分θ=

π

2

和θ≠

π

2

時，求得直線方程，進(jìn)而判斷直線AB恒過是否定點．

解答：解：（I）如圖，設(shè)M為動圓圓心，（

p

2

，0）為記為F，
過點M作直線x=-

p

2

的垂線，垂足為N，
由題意知：|MF|=|MN|，即動點M到定點F與定直線x=-

p

2

的距離相等，
由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，
其中F（

p

2

，0）為焦點，x=-

p

2

為準(zhǔn)線，
所以軌跡方程為y²=2px（P＞0）；

（II）如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁，x₂≠0．
所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，顯然x₁=

y 2 1

2p

，x₂=

y 2 2

2p

．
將y=kx+b與y²=2px（p＞0）聯(lián)立消去x，得ky²-2py+2pb=0
由韋達(dá)定理知y₁+y₂=

2p

k

，y₁•y₂=

2pb

k

①
（1）當(dāng)θ=

π

2

時，即α+β=

π

2

時，tanα•tanβ=1．
所以

y1

x1

•

y2

x2

，x₁x₂-y₁y₂=0，

y 2 1 y 2 2

4p2

-y₁y₂=0．
所以y₁y₂=4p²
由①知：

2pb

k

=4p²，所以b=2pk．
因此直線AB的方程可表示為y=kx+2Pk．
即k（x+2P）-y=0所以直線AB恒過定點（-2p，0）
（2）當(dāng)θ≠

π

2

時，由α+β=θ，得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

將①式代入上式整理化簡可得：tanθ=

2p

b-2pk

，所以b=

2p

tanθ

+2pk．
此時，直線AB的方程可表示為y=kx+

2p

tanθ

+2pk．即k（x+2p）-（y-

2p

tanθ

）=0．
所以直線AB恒過定點（-2p，

2p

tanθ

）．
所以由（1）（2）知，當(dāng)θ=

π

2

時，直線AB恒過定點（-2p，0），當(dāng)θ≠

π

2

時直線AB恒過定點（-2p，

2p

tanθ

）．

點評：本題主要考查了求軌跡方程的問題．涉及直線的拋物線的關(guān)系，常需要聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理找到解決問題的突破口．