Question

（本小題滿分13分）

已知圓C₁的方程為，定直線l的方程為．動(dòng)圓C與圓C₁外切，且與直線l相切．

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程；

（II）斜率為k的直線l與軌跡M相切于第一象限的點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），并交軌跡M于異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，記為軌跡M與直線PQ圍成的封閉圖形的面積，求的值．

 

 

Answer 1

【答案】

解（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為，動(dòng)圓半徑為R，則

          ，且    ————2分

    可得 ．

由于圓C1在直線l的上方，所以動(dòng)圓C的圓心C應(yīng)該在直線l的上方，所以有，從而得，整理得，即為動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程．                                            ————5分

（II）如圖示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．由于該直線經(jīng)過點(diǎn)A（0,6），所以有，得．因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4,2），直線PQ的方程為．                   ——————9分

把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯(lián)立得，解得或4，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．所以

       

          ．  ——————13分

 

【解析】略