Question

正方形ABCD（圖1）中，AB=2，E、F分別是邊AB及BC的中點(diǎn)，將△AED及△DCF折起（如圖2），使A、C點(diǎn)重合于A'點(diǎn)．
（1）證明：A′D⊥EF； 
（2）證明：平面A′FD⊥平面A′ED；
（3）求A′D與平面DEF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由折疊前后的角度不變得到A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，然后利用線面垂直的判定得到A′D⊥面A′EF，從而得到答案；
（2）要證平面A′FD⊥平面A′ED，只要證明平面A′FD經(jīng)過面A′ED的一條垂線A′F即可，利用△BEF≌△A′EF得到A′E⊥A′F，結(jié)合（1）可證得結(jié)論；
（3）先證出面A′OD⊥面DEF，然后找出線面角，通過解直角三角形求解A′D與平面DEF所成角的正切值．

解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，而折疊前后的角度不變，
∴A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
由

A′D⊥A′E A′D⊥A′F A′E∩A′F=A′

⇒A′D⊥面A′EF⇒A′D⊥EF；
（2）證明：∵BE=A′E，BF=A′F，EF=EF．
∴△BEF≌△A′EF，
∵∠EBF=90°，
∴A′E⊥A′F，
又由（1）知A′F⊥A′D，
A′D∩A′E=A′．
∴A′F⊥面A′ED⇒面A′FD⊥面A′ED；
（3）解：設(shè)BD∩EF=O，則O為EF中點(diǎn)，且EF⊥BD．
∴

EF⊥OA′ EF⊥OD OA′∩OD=O

⇒EF⊥面A′OD⇒面A′OD⊥面DEF，
作A′H⊥OD于H，則A′H⊥面DEF，
∴∠A′DH為A′D與面DEF所成的角且等于∠A′DO，
在Rt△A′OD中，A′D=2，A′O=BO=

2

2

，
∴tan∠A′DO=

A′O

A′D

=

2

4

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與直線處置的判定，考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵在于明確折疊前后的變量和不變量，是中檔題．