Question

已知過函數(shù)f （x）=x²+bx圖象上的點(diǎn)A（1，f（1））的切線為3x-y-1=0，數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n（n∈N^*），則

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的過一個點(diǎn)的切線方程，求導(dǎo)以后作出在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，求出字母系數(shù)，得到數(shù)列的表示式，利用裂項做出數(shù)列的前n項和，求出極限．

解答：解：∵過函數(shù)f （x）=x²+bx圖象上的點(diǎn)A（1，f（1））的切線為3x-y-1=0，
∴f^′（x）=2x+b，
∴2+b=3，
∴b=1，
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

n

n+1

=1
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的極限，解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的前n項和，裂項法求前n項和的方法比較常見，注意數(shù)字的運(yùn)算不要出錯．