Question

（本題滿(mǎn)分12分）w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om高.考.資.源.網(wǎng)

已知函數(shù)（）．

   （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；

   （2）當(dāng)函數(shù)在單調(diào)時(shí)，求的取值范圍；

   （3）求函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在最大值是，函數(shù)在上的最小值為。w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om高.考.資.源.網(wǎng)

（2）的取值范圍是。

（3）函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。

【解析】（1）時(shí)，，

函數(shù)在區(qū)間僅有極大值點(diǎn)，故這個(gè)極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，

故函數(shù)在最大值是，w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om高.考.資.源.網(wǎng)

又，故，

故函數(shù)在上的最小值為。    ……………4分

（2），令，則，

則函數(shù)在遞減，在遞增，由，，

，故函數(shù)在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052323013990629511/SYS201205232303333906874173_DA.files/image023.png">。

若在恒成立，即在恒成立，

只要，若要在在恒成立，即在恒成立，

只要。即的取值范圍是。 ……………8分

（3）若既有極大值又有極小值，則首先必須有兩個(gè)不同正根，

即 有兩個(gè)不同正根。w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om高.考.資.源.網(wǎng)

故應(yīng)滿(mǎn)足，

∴當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等的正根，不妨設(shè)，

由知：時(shí)，時(shí)，時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)既有極大值又有極小值．

反之，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的正根，

故函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。   ……………12分