Question

[理]如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在圖中拋物線y²=4x及橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的實(shí)線上運(yùn)動(dòng)，若AB∥x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0），則△ABN的周長l的取值范圍是

 

．
[文]點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，則P到直線y=x-2的距離的最小值是

 

．

Answer 1

分析：[理]先根據(jù)拋物線方程和橢圓方程分別求得他們的準(zhǔn)線方程，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，過A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4，根據(jù)拋物線和橢圓的定義求得|NA|=|AH|=x₁+1，|NB|=|BH|•

1

2

=

4-x2

2

，進(jìn)而表示出三角形周長，化簡整理后，求得周長L關(guān)于x₂的表達(dá)式，聯(lián)立拋物線和橢圓方程求得兩曲線的交點(diǎn)，判斷出x₂的范圍，進(jìn)而確定L的范圍．
[文]由題意知，當(dāng)曲線上過點(diǎn)P的切線和直線y=x-2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最小．求出曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得且點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線y=x-2的距離即為所求．

解答：解：[理]依題意可知拋物線準(zhǔn)線為x=-1
橢圓右準(zhǔn)線為x=4
設(shè)A（x₁，y） B（x₂，y）
過A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4
由圓錐曲線第二定義
|NA|=|AH|=x₁+1
|NB|=|BH|•

1

2

=

4-x2

2

L=x₁+1+x₂-x₁+

4-x2

2

=

x2+6

2

聯(lián)立拋物線和橢圓方程求得x=

2

3

或-6（舍負(fù)）
∴

2

3

≤x₂≤2
∴

10

3

≤

x2+6

2

≤4
即L的取值范圍是（

10

3

，4）
[文]點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，
當(dāng)過點(diǎn)P的切線和直線y=x-2平行時(shí)，
點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最�。�
直線y=x-2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的導(dǎo)數(shù) y′=2x-

1

x

=1，x=1，或 x=-

1

2

（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x-2平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線y=x-2的距離等于

2

，
故點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為

2

，
故答案為：（

10

3

，4），

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓和拋物線的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．