Question

已知f(x)=sin(2x+

π

4

)，x∈[0，π]，當(dāng)方程f（x）=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂時(shí)，求（1）a的取值范圍；（2）求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，π]，可得-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，f（x）=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂時(shí)，有-1＜a＜1 且 a≠

2

2

，即為a的取值范圍．
（2）當(dāng)a∈（

2

2

，1）時(shí)，x₁、x₂ 關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，x₁+x₂ =π；當(dāng)a∈（-1，

2

2

）時(shí)，x₁、x₂ 關(guān)于直線x=

3π

2

 對(duì)稱，x₁+x₂ =3π．

解答：解：（1）∵x∈[0，π]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤2π+

π

4

，∴-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，
當(dāng)方程f（x）=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂時(shí)，-1＜a＜1且a≠

2

2

，
故a的取值范圍為（-1，

2

2

）∪（

2

2

，1）．
（2）當(dāng)a∈（

2

2

，1）時(shí)，x₁、x₂ 關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，x₁+x₂ =π．
當(dāng)a∈（-1，

2

2

）時(shí)，x₁、x₂ 關(guān)于直線x=

3π

2

 對(duì)稱，x₁+x₂ =3π，
綜上，x₁+x₂ =π，或x₁+x₂ =3π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，正弦函數(shù)的值域，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，得到a的取值范圍，是解題的難點(diǎn)．