Question

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn) .

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)（），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明.

 

Answer 1

【答案】

（1），離心率.（2）或.（3）證明：見解析。

【解析】

試題分析：（1）由題意，可設(shè)橢圓的方程為.由已知得

解得，所以橢圓的方程為，離心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0） .設(shè)直線PQ的方程為 .由方程組

得，依題意，得 .

設(shè)，則， ① . ②，由直線PQ的方程得

 .于是 . ③

∵，∴ .  ④，由①②③④得，從而.

所以直線PQ的方程為或.

（3）證明：.由已知得方程組

注意，解得，因，故

 .

而，所以.

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及平面向量的基礎(chǔ)知識。

點(diǎn)評：是一道綜合性較強(qiáng)的題目，較全面的考查了橢圓、直線于橢圓以及平面向量的基礎(chǔ)知識。解答中從聯(lián)立方程組出發(fā)，運(yùn)用韋達(dá)定理，體現(xiàn)了整體觀，是解析幾何問題中的常見類型。