Question

（2013•內(nèi)江一模）設(shè)函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c，則下列命題中正確命題的序號有

（2）（3）（4）

（1）函數(shù)f（x）在R上有最小值；
（2）當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)在R上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對稱；
（4）當(dāng)b＜0時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根的充要重要條件是b²＞4|c|；
（5）方程f（x）=0可能有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)b＜0時(shí)，可以根據(jù)函數(shù)的值域加以判斷函數(shù)f（x）在R上是否有最小值；
（2）當(dāng)b＞0時(shí)，把函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0兩種情況討論，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求單調(diào)性；
（3）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對稱，可以根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決；
（4）當(dāng)b＜0時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，考慮函數(shù)f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，如圖，其充要重要條件是函數(shù)y=f（x）的極大值大于0且極小值小于0，即可得到結(jié)論；
（5）根據(jù)f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

的每一段分段函數(shù)的圖象都是一個(gè)二次函數(shù)的部分圖象，且它們有一個(gè)公共點(diǎn)（0，c），結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得結(jié)果．

解答：解：（1）當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

值域是R，故函數(shù)f（x）在R上沒有最小值；
（2）當(dāng)b＞0時(shí)，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

，知函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）若f（x）=|x|x+bx那么函數(shù)f（x）是奇函數(shù)（f（-x）=-f（x）），也就是說函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（0，0）對稱．而函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c的圖象是由函數(shù)f（x）=|x|x+bx的圖象沿Y軸移動，故圖象一定是關(guān)于（0，c）對稱的．
（4）當(dāng)b＜0時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，考慮函數(shù)f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，如圖，
其充要重要條件是函數(shù)y=f（x）的極大值大于0且極小值小于0，
即b²-4c＞0，b²＞4|c|；
故（4）正確；
（5）f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

的每一段分段函數(shù)的圖象都是一個(gè)二次函數(shù)的部分圖象，且它們有一個(gè)公共點(diǎn)（0，c），由圖角可得解得方程f（x）=0最多有三個(gè)不同的實(shí)根，不可能有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根．所以（5）不正確．

故答案為：（2）（3）（4）．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、對稱性和最值等問題，對于含有絕對值的一類問題，通常采取去絕對值的方法解決，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想；函數(shù)的對稱性問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的奇偶性加以分析，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、運(yùn)動的數(shù)學(xué)思想；對于存在性的命題研究，一般通過特殊值法來解決．