Question

長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上移動，點(diǎn)P在直線AB上且滿足．
（ I）求點(diǎn)P的軌跡的方程；
（ II）記點(diǎn)P軌跡為曲線C，過點(diǎn)Q（2，1）任作直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，過M作斜率為的直線l'交曲線C于另一R點(diǎn)．求證：直線NR與直線OQ的交點(diǎn)為定點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（ I）利用，確定A，B，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，由|AB|=3，即可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（ II）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，直線l與曲線C相切，不合題意；當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定MR、NR的方程，利用，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證得結(jié)論．
解答：（ I）解：設(shè)A（m，0），B（0，n），P（x，y）
由得x=2（m-x），y-n=2（0-y），即
又由得，即為點(diǎn)P的軌跡方程．
（ II）證明：當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，直線l與曲線C相切，不合題意；
當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+1，即y=kx+1-2k，與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得
（1+4k²）+8k（1-2k）x+16（k²-k）=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（x₃，y₃），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴MR的方程為
與曲線C的方程聯(lián)立可得：2x²-2（x₁+2y₁）x+-4=0
∴x₁+x₃=x₁+2y₁
∴x₃=2y₁，=
直線NR的方程為
令，則

=
4y₁y₂-x₁x₂=（4k²-1）x₁x₂+4k（1-2k）（x₁+x₂）+4（1-2k）²=（4k²-1）×+4k（1-2k）×+4（1-2k）²
=
∴4y₁y₂-x₁x₂=2y₁+2y₂-x₁-x₂
從而x=1，y=
即直線NR與直線OQ交于定點(diǎn)（1，）
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．