Question

如圖a，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=BC=

1

2

AD=1，E是底邊AD的中點(diǎn)，沿CE將△CDE折起，使A-CE-D是直二面角（如圖b）．在圖b中過D作DF⊥平面BCD，EF∥平面BCD．
①求證：DF?平面CDE；
②求點(diǎn)F到平面ACD的距離；
③求面ACE與面ACF所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：①先根據(jù)線面垂直判定定理可知BC⊥平面CDE，過E作EG⊥CD，垂足為G，則EG⊥平面BCD，根據(jù)DF⊥平面BCD，則DF∥EG，DF、EG共面，都在平面DEG中，從而DF?平面CDE．
②在四面體ACDF中，AE⊥平面CDF，設(shè)點(diǎn)F到平面ACD的距離為h，根據(jù)等體積法可求出h；
③以E為原點(diǎn)，EA、EC、ED所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACF的一個(gè)法向量和面ACE的一個(gè)法向量，然后求出兩個(gè)法向量的夾角，從而求出面ACE與面ACF所成二面角的余弦值．

解答：解：①依題意DE⊥BC，CE⊥BC，
因?yàn)镈E∩CE=E，
所以BC⊥平面CDE，過E作EG⊥CD，
垂足為G，則EG⊥平面BCD，
又因?yàn)镈F⊥平面BCD，
所以DF∥EG，DF、EG共面，都在平面DEG中，
所以DF?平面CDE．
②在四面體ACDF中，AE⊥平面CDF，設(shè)點(diǎn)F到平面ACD的距離為h，
則VACDF=

1

3

×S△CDF×AE=

1

3

×S△ACD×h，直接計(jì)算知DF=

2

2

，AD=CD=

2

，AE=1，AC=

2

，S△ACD=

3

4

×AC2=

3

2

，
從而

1

3

×

1

2

×CD×DF×AE

1

3

×

1

2

×

2

2

×

2

×1=

1

3

×

3

2

×h，h=

3

3

．
③以E為原點(diǎn)，EA、EC、ED所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0）、C（0，1，0）、F(0，-

1

2

，

1

2

)，

AC

=(-1，1，0)，

AF

=(-1，-

1

2

，

1

2

)，
設(shè)平面ACF的一個(gè)法向量為

n

=(p，q，r)，
則

n • AC =0 n • AF =0

，即

-p+q=0=0 -p- q 2 + r 2 =0

，
所以取

n

=(1，1，3)，面ACE的一個(gè)法向量為

n/

=(0，0，1)，
所以面ACE與面ACF所成二面角的余弦值cosθ=

n • n/

| n |•| n/ |

=

3

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題有折疊、建立四面體、建立空間直角坐標(biāo)系等方式“構(gòu)造空間圖形”，當(dāng)然，構(gòu)造的方式還有視圖等；求解的問題有線面關(guān)系、角度、距離等，其中③僅適合理科學(xué)生．對(duì)理科學(xué)生而言，②也可用向量法，在上述空間直角坐標(biāo)系下，面ACD的一個(gè)單位法向量

n1

=

1

3

(1，1，1)，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，h=|

FD

•

n1

|=

1

3

．