Question

已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l₁：y=-1，過定點(diǎn)F與直線l₁相切的動圓圓心為點(diǎn)C．
（1）求動點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F在直線l₂交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l₁于點(diǎn)R，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l₁的距離，依據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而求得其軌跡方程．
（2）設(shè)出直線l₂的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而可得點(diǎn)R的坐標(biāo)，表示出，根據(jù)均值不等式求得其最小值．
解答：解：（1）由題設(shè)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l₁的距離，
∴點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線
∴所求軌跡的方程為x²=4y
（2）由題意直線l₂的方程為y=kx+1，
與拋物線方程聯(lián)立消去y得x²-4kx-4=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因為直線PQ的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為

=
=
=
=，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時取到等號．
的最小值為16
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，